当前位置:主页 > 奥秘咨询 >认识等角螺线(On the Equiangular Spir >

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

发布时间:2020-08-05作者: 阅读:(728)


摘要:本文介绍等角螺线的历史与一些性质。

何谓等角螺线

在一片空旷的草地上,甲、乙、丙、丁四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点 $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$ 上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下,四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标,那幺,这四只狗所跑过的路径是什幺形式呢?

假设四只狗在某一时刻的位置分别为 $$A_1$$、$$B_1$$、$$C_1$$、$$D_1$$(参看图一),则根据四只狗的行动一致所产生的对称性,可知 $$A_1B_1C_1D_1$$ 也是正方形,而且它的中心也就是正方形 $$ABCD$$ 的中心 $$O$$。

更进一步地,由于在 $$A_1$$ 点的甲狗係冲向在 $$B_1$$ 点的乙狗,所以,甲狗在此一时刻的速度方向在向量 $$\overrightarrow{A_1B_1}$$ 上。或者说,甲狗所跑的路径在 $$A_1$$ 点的切线与直线 $$OA_1$$ 形成 $$45^\circ$$ 的夹角。同理,乙狗所跑的路径在 $$B_1$$ 点的切线与直线 $$OB_1$$ 形成 $$45^\circ$$ 的夹角,等等。

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

图一

一般而言,若一曲线在每个点 $$P$$ 的切向量都与某定点 $$O$$ 至此点 $$P$$ 所成的向量夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线(equiangular spiral),$$O$$ 点称为它的极点(pole)。下图二是一等角螺线的部分图形:

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

图二

前面所提的四狗追逐问题中,每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分,此等角螺线中的定角是 $$\pi/4$$(或 $$3\pi/4$$,因为切向量可选成相反方向),而其极点是正方形 $$ABCD$$ 的中心 $$O$$。

在坐标平面上,若一等角螺线的定角为 $$\alpha~(0<\alpha <\pi,~\alpha\neq 2\pi)$$、极点是原点 $$O$$,则此等角螺线的极坐标方程式为 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$,其中的 $$a$$ 是一常数。由于在导出等角螺线极坐标方程式的过程中需要引用自然对数,所以,对角螺线也称为对数螺线(logarithmic spiral)。

趣史一则

对于等角螺线的探讨,以白努利(J. Bernoulli, 1654~1705年)的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的对角螺线。这些变换包括:求等角螺线的垂足曲线(pedal curve);求等角螺线的渐屈线(evolute);求等角螺线的反演曲线(inversive curve);求等角螺线的焦线(caustic curve);将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换(dilatation)。

由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使白努利大为欣慰,所以,临终前遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话:「Eadem mutata resurgo」(虽然某些状况改变了,我却保持不变)。这是继阿基米德(纪元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家。

等角螺线的相似性质

对于一般的几何图形,若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小,则可得到一个相似的图形。在对角螺线的情形中,若伸缩中心是它的极点,则不论放大或缩小多少倍,所得的不只是相似图形而已,它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。

为什幺呢?若以极点为伸缩中心将等角螺线 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$ 伸缩 $$m$$ 倍,则所得的图形是等角螺线 $$r=ame^{\theta \cos\alpha}$$。因为 $$m>0$$,所以可找到一个实数 $$\phi$$ 使得 $$m=e^{\phi \cos\alpha}$$。于是伸缩后的图形为 $$r=ae^{(\theta +\phi) \cos\alpha}$$,这个图形其实就是将等角螺线 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$ 绕极点顺时针旋转 $$\phi$$ 角所得的,它自然与原等角螺线 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$ 全等。

根据前段的说明可知:等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后,必与该等角螺线上的另一段弧全等。事实上,若 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$ 经伸缩而成 $$r=ae^{(\theta +\phi) \cos\alpha}$$,则在等角螺线 $$r=ae^{\theta \cos\alpha}$$ 上,辐角 $$\theta$$ 满足 $$\beta\leq\theta\leq\gamma$$ 的弧,经伸缩后必与该等角螺线上辐角 $$\theta$$ 满足 $$\beta+\phi\leq\theta\leq\gamma+\phi$$ 的弧全等。

等角螺线的这项特性,使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。例如:许多贝壳的形状都很接近等角螺线,因为生活在壳内的动物在成长过程中通常是均匀地长大,这就像相似地放大,所以,新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。在植物中,向日葵、凤梨与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。图3是鹦鹉螺的横截面,这幺美的线条,令人不得不佩服造物之奇。

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

图三

黄金分割与等角螺线

环绕某个定点而相似地缩小,这是等角螺线在其极点附近呈现的现象。假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小,是不是会与等角螺线产生关联呢?

在图四中,$$\Box ABDF$$、$$\Box CDFH$$、$$\Box EFHJ$$、$$\Box GHJK$$、$$\Box IJKL$$ 是一系列的矩形,这些矩形中每两个都相似(亦即:边的比值相等),而且后一个矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。如:$$\Box{CDFH}$$ 是由 $$\Box ABDF$$ 挖掉正方形 $$\Box ABCH$$ 而得的。

此时,上列矩形的第一个顶点 $$A$$、$$C$$、$$E$$、$$G$$、$$I$$、$$K$$ 等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是直线 $$AE$$、$$BF$$、$$CG$$、$$DH$$ 等共同的交点 $$O$$。

若以 $$O$$ 为极点,射线 $$\overrightarrow{OE}$$ 为极轴,且 $$A$$ 的极坐标为 $$(a,\pi)$$,则此等角螺线的极坐标方程式为

$$\displaystyle r=\frac{a}{\phi^2}(\phi^{2/\pi})^\theta$$

其中,$$\phi=(1+\sqrt{5})/2$$。这个等角螺线通常称为黄金螺线。

为什幺会扯上 $$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ 呢?原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长之比 $$\overline{BC}:\overline{CD}$$。

若线段 $$\overline{BD}$$ 上的一点 $$C$$ 满足 $$\overline{BD}:\overline{BC}=\overline{BC}:\overline{CD}$$,则称 $$C$$ 点将 $$\overline{BD}$$ 黄金分割。当 $$C$$ 点将 $$\overline{BD}$$ 黄金分割时,$$\overline{BC}:\overline{CD}$$ 的值是 $$(1+\sqrt{5})/2$$,此数称为黄金分割比。若一矩形的长边与短边的比值为 $$(1+\sqrt{5})/2$$,则此矩形称为黄金矩形。

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

图四

由黄金矩形可引出等角螺线,将矩形改成三角形,也会有同样的结果吗?

在图五中,$$\Delta ABC$$、$$\Delta BCD$$、$$\Delta CDE$$、$$\Delta DEF$$、$$\Delta EFG$$、$$\Delta FGH$$ 等是一系列的等腰三角形,这些等腰三角形中每两个都相似,而且后一等腰三角形,都是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。

例如:$$\Delta BCD$$ 是由 $$\Delta ABC$$ 挖掉等腰三角形 $$\Delta DAB$$ 而得的。此时,上列等腰三角形的顶点 $$A$$、$$B$$、$$C$$、$$D$$、$$E$$、$$F$$、$$G$$、$$H$$、$$\cdots$$等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是 $$AF$$ 与 $$BG$$ 的交点 $$O$$。

若以 $$O$$ 为极点、射线 $$OB$$ 为极轴、且 $$A$$ 的极坐标为 $$(a,\frac{3\pi}{5})$$,则此等角螺线的极坐标方程式为

$$\displaystyle r=\frac{a}{\phi}(\phi^{5/(3\pi)})^\theta$$

其中,$$\phi=(1+\sqrt{5})/2$$。这个等角螺线也称为黄金螺线。

此等角螺线也扯上 $$(1+\sqrt{5})/2$$,其理由如下:上述的相似等腰三角形 $$\Delta ABC$$ 等,可证明其顶角为 $$36^\circ$$、底角为 $$72^\circ$$,所以,$$\overline{AB}:\overline{BC}=(1+\sqrt{5})/2$$。此种三角形称为黄金三角形。

认识等角螺线(On the Equiangular Spir

图五

延伸阅读:

上一篇: 下一篇:

相关阅读